「弘化3年閏5月10日（1846年7月3日）」
「閏」は「うるう」と読みますでしょうか。
意味がよくわかりません。日本の古いカレンダが現代のカレンダに訳したわけですか。そうなら、５月１０日は陰暦の月日ですか。七月三日はそのグレゴリオ暦という同じ月日でしょうか。
日本史や国文学、暦のことなどに詳しくないので、私は手も足も出ません。Totoroさんの解釈が正しいのではないかという予感はしますが。
Totoroさん、
また難しい質問ですね。 いま、ちょっと仕事が一段落して少し時間があったので調べてみました。
読み方は 「うるう」 で正解です。
日本では明治時代の初期に改暦があり それまで太陰太陽暦 （ 一般的に 旧暦 と呼びます） から 今の 太陽暦（グレゴリオ暦）に 変わったそうです。
http://www1.kaiho.mlit.go.jp/KOHO/faq/reki/kyuureki.htm
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旧暦では季節と月とをあわすために ３年に１度 閏月 という月を挿入して １年を１３か月にした 閏年があったそうです。
で 閏月 で検索してみてください。
ご質問の
「弘化3年閏5月10日（1846年7月3日）」 は
たぶん
旧暦では 弘化 という時代の ３年 閏５月 （つまり５月と６月の間の月） の １０日 （ つまり Totoroさんの予想通り グレゴリオ暦では 1846年7月3日 ） という意味だと思います。
私もインターネットで調べて答えています。 今までまったく知りませんでした。 普通の日本人はほとんど知らないと思います。
調べていただいて感謝しております。
本当に難しいですね。私は普通の日本人が何がわかるか、何がわからないかよく知りません。今度は激難の質問を免れるようにします！
（頭が痛いから。）
「皇女和宮」の誕生日ですか？
はい、そうです！